CALCULO DIFERENCIAL

diciembre 02, 2023

CALCULO DIFERENCIAL

PROBLEMA DE MAXIMOS O MINIMOS

Se requiere la realizacion de un brazo robotico que funcione a traves de energia hidraulica. Para su construcción se deben diseñar y construir una base con 20 metros cuadrados de material en su construcción y debe tener al menos una cara cuadrada.

¿Qué dimensiones debe tener la caja para que tenga el máximo volumen?

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Necesitamos maximizar el volumen de la base usando 20 m $^2$ de superficie de material en su construcción. Primero encontramos la superficie que se utiliza en su construcción:

$\begin{equation*} A = 2\,y^2 + 4\,xy = 20\qquad\Rightarrow\qquad y^2 + 2\,xy = 10%\qquad\Rightarrow\qquad \end{equation*}$

Ahora que conocemos cómo están relacionadas las variables $x$ e $y$ podemos despejar $x$ y obtenemos:

$\begin{equation*} x = \frac{10 - y^2}{2\,y} \end{equation*}$

Este resultado nos será útil, porque si sustituimos este valor en lugar de $x$ en la fórmula del volumen de la caja obtenemos una función de una sola variable:

$\begin{equation*} V = x\cdot y^2 = \left(\frac{10 - y^2}{2\,y}\right)\cdot y^2 = 5\,y - \frac{y^3}{2} \end{equation*}$

Ahora podemos calcular la derivada de esta función y calcular su máximo:

$\begin{equation*} \frac{dV}{dy} = 5 - \frac{3}{2}\,y^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad y = \pm\sqrt{\frac{10}{3}} \end{equation*}$

Como no podemos asignar un valor negativo a una de las dimensiones, tenemos que $y \approx 1.8257$ metros. La otra dimensión es:

$\begin{equation*} x = \frac{10 - \frac{10}{3}}{2\,\sqrt{\frac{10}{3}}} = \frac{10\cdot\left(\frac{2}{3}\right)}{2\,\sqrt{\frac{10}{3}}} = \frac{5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)}{\sqrt{\frac{10}{3}}}\cdot\frac{\sqrt{\frac{10}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{3}}} = \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1.8257 \end{equation*}$

Es decir En otras palabras, la base debe ser un cubo perfecto para que tenga el máximo volumen. Para verificar que en realidad se trata de un máximo, calculamos la segunda derivada y evaluamos en $x = 1.8257$ :